[ML] Closed-form solution(닫힌 형태)

1. Wikipedia

: In mathematics, a closed-form expression is a mathematical expression that uses a finite number of standard operations. It may contain constants, variables, certain well-known operations (e.g., + − × ÷), and functions (e.g., nth root, exponent, logarithm, trigonometric functions, and inverse hyperbolic functions), but usually no limit, differentiation, or integration. The set of operations and functions may vary with author and context.

: 수학에서 Closed-form expression이란 유한개의 숫자를 표준 연산 수학식으로 나타낸 것이다. Closed-for expression은 상수나 변수, 잘 알려진 사칙연산과 같은 연산이나 제곱근, 지수, 로그, 삼각근과 같은 함수를 포함할 수 있지만, 일반적으로 무한대, 미분, 적분은 포함하고 있지않다. 다만, 앞서 언급한 연산과 함수는 작성자나 문맥에 따라 달라질 수 있다.

 

2. Wolfram MathWorld

: An equation is said to be a closed-form solution if it solves a given problem in terms of functions and mathematical operations from a given generally-accepted set. For example, an infinite sum would generally not be considered closed-form. However, the choice of what to call closed-form and what not is rather arbitrary since a new "closed-form" function could simply be defined in terms of the infinite sum.

: 주어진 문제가 일반적으로 알려진 함수나 수학 연산으로 해를 구할 수 있는 식을 Closed-form solution이라 한다. 예를 들어, 무한개의 더하기 연산은 일반적으로 closed-form으로 여기지지 않는다. 하지만, 무엇을 closed-form이라 부를지 말지는 다소 임의적인 측면이 있다. 왜냐하면 새로 정의한 closed-form 함수가 무한개의 더하기에 의해 정의될 수 있기 때문이다. ( (아마 시그마(∑) 형태로 나타낼 수 있다는 것을 뜻하는 것으로 보인다.)

 

3. 한 블로그에 따르면 Analytic(해석적인)으로 Closed-form solution을 설명하기도 하는 것으로 보인다. 예를 들어, 기초적인 함수 형태 중 하나인 y = ax + b 라는 식은 a라는 상수에 x라는 변수이 값을 곱한 후 b라는 상수를 더하면 y의 값을 도출할 수 있다와 같이 해석이 가능하고(Analytic), 이렇게 해석이 가능한 식을 Closed-form solution이라 한다고 한다. 또 다른 의미로는, Closed-form solution은 문제에 대한 해를 식으로 명확히 제시할 수 있다는 것으로 생각된다고 설명했다.

 

참고

- https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression

- https://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

- https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=wkjuns&logNo=221188019029